高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第三课时 直角三角形的射影定理学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案

第三课时 直角三角形的射影定理[对应学生用书 P9]射影定理射影定理文字语言直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．符号语言在 Rt△ABC 中 AC⊥CB，CD⊥AB 于 D，则 AC2＝AD · AB ，BC2＝BD · BA ，CD2＝BD · AD .图形语言如图所示在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 是 AB 边上的高．应用射影定理可以得到 AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝(AD＋BD)·AB＝AB2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．[对应学生用书 P9]利用射影定理解决计算问题[例 1] 如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB＝10，BD＝8，求 CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求 CD.[精解详析] 在△ABD 中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足 AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC.又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°，∴在 Rt△ABC 中，AD⊥BC.由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD，∴CD＝.1利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，CD 是斜边上的高，AC＝5，BC＝8，求 S△CDA∶S△CDB.解： △CDA 和△CDB 同高，∴＝.又 AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，∴＝＝.∴＝＝＝.2.如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，DE 是 Rt△BCD 斜边 BC上的高，若 BE＝6，CE＝2.求 AD 的长是多少．解：因为在 Rt△BCD 中，DE⊥BC，所以由射影定理可得：CD2＝CE·BC，所以 CD2＝16，因为 BD2＝BE·BC，所以 BD＝＝4 .因为在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以 AD＝＝＝.利用射影定理解决证明问题[例 2] 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于F，DE⊥AB 于 E.求证：(1)AB·AC＝AD·BC；(2)AD3＝BC·BE·CF.[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在 Rt△ABC 中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，∴AB·AC＝AD·BC....