高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.4 切割线定理学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案

1.2．4 切割线定理课标解读1.掌握切割线定理及其推论．2．会用切割线定理及推论解决问题.1．切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)图形表示图 1－2－60如图 1－2－60，⊙O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则有 PA 2 ＝ PB · PC .2．切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积．(2)图形表示如图 1－2－61，PAB 与 PCD 是⊙O 的两条割线，则有 PA · PB ＝ PC · PD .图 1－2－613．切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O 外一点 P，若割线 PAB 交⊙O 于 A，B 两点，点 T 在⊙O 上，且 PT2＝PA·PB，则 PT是⊙O 的切线．(2)图形表示1图 1－2－62如图 1－2－62，PAB 是⊙O 的割线，点 T 在⊙O 上，若 PT2＝PA·PB，则 PT 是⊙O 的切线．1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】 只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．2．应用切割线定理应注意什么？【提示】 应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把 PC2＝PA·PB 错写成 PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式 PT2＝PB·PA 错写成 PT2＝PB·BA，把关系式 PB·PA＝PD·PC 错写成 PB·BA＝PD·DC.2切割线定理图 1－2－63 如图 1－2－63，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点E，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证：ED2＝EC·EB.【思路探究】 由于 EA2＝EC·EB，故只需证 ED＝EA.【自主解答】 如题图， AE 是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又 AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. ∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故 EA＝ED. EA 是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.3而 EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用． 图 1－2－64(2012·衡阳六校联考)如图 1－2－64，圆 O 是△ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD＝2，AB＝BC＝3，则 AC 的长为________．【解析】 由切割线定理知 CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2)2＝BD2＋3...