高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.5 相交弦定理学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案

1.2.5 相交弦定理课标解读1.掌握相交弦定理及其证明过程．2．能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.图 1－2－81相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形表示如图 1－2－81，弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P，则有：PA · PB ＝ PC · PD .1．相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】 相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论．若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想．2．应用相交弦定理应注意什么？【提示】 相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可．1相交弦定理的简单应用 如图 1－2－82，AC 为⊙O 的直径，弦 BD⊥AC 于点 P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD 的值为________．图 1－2－82【思路探究】 由垂径定理知，点 P 是 BD 的中点，先用相交弦定理求 PD，再用射影定理或勾股定理求 AD、CD，最后求 tan∠ACD.【自主解答】 BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8＝16，∴PD＝4.连接 AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠ACD＝.又 AD＝＝＝4，CD＝＝＝2，∴tan∠ACD＝＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD，再用勾股定理或射影定理求 AD、CD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明． 2图 1－2－83如图 1－2－83，已知 AB 是⊙O 的直径，OM＝ON，P 是⊙O 上的点，PM、PN 的延长线分别交⊙O 于 Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.【证明】 OM＝ON，OA＝OB，∴AM＝BN，BM＝AN，∴AM·BM＝AN·BN，又 PM·MQ＝AM·BM，PN·NR＝AN·BN，∴PM·MQ＝PN·NR.相交弦定理的综合应用 如图 1－2－84，△ABC 内接于⊙O，P 是△ABC 的高 CE 的延长线上一点 ，PC 交⊙O 于 D，若 PA2＝PD·PC，AE＝2，CE＝3，cos∠ACB＝，求 BE 的长．3图 1－2－84【思路探究】 由 PA2＝PD·PC 知 PA 是⊙O 的切线，∠ACB 等于∠PAE，则 PA 可求，在Rt△APE 中 PE 可求，由切割线定理求出 PD，进而求出 DE，再由相交弦定理求 BE.【自主解答】 由 PA2＝PD·PC，知 PA 是⊙O 的切线，∴∠PAE＝∠ACB. PC⊥AB，∴∠AEP＝90°.又 cos∠ACB＝，∴在 Rt△PAE 中，cos∠PAE＝＝. A...