高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.1 圆周角定理学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案

2．1 圆周角定理[对应学生用书 P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O 中，BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠ BOC ＝ BC °.(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论 1 中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．[对应学生用书 P13]利用圆周角定理解决计算问题[例 1] 已知△ABC 内接于圆 O，∠OBC＝35°，求∠A.[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点 A 的位置不确定，所以点 A 和圆心 O 可能在 BC 的同侧，也可能在 BC 的异侧．[精解详析] (1)当点 A 和圆心 O 在 BC 的同侧时，如图①所示． OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点 A 和圆心 O 在 BC 的异侧时，如图②所示．设 P 为圆上与圆心 O 在 BC 的同侧一点，连接 PB，PC. OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∠OBC＝35°，1∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A 的度数是 55°或 125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则∠OCD 的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选 A 连接 OB.因为∠A＝50°，所以 BC 弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例 2] 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于D，BC＝4 cm.(1)试判断 OD 与 AC 的关系；(2)求 OD 的长；(3)若 2sinA－1＝0，求⊙O 的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论 2 的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用 OD∥BC 可得 OD⊥AC.用相似可得 OD 的长，由边角关系可求⊙O 的直径．[精解详析] (1) A...