高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.1 不等式的基本性质（1）课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1 不等式的基本性质（1）课堂导学三点剖析一、不等式性质的应用【例 1】 已知 a>b,cb-d

证法一： a>b,c0,d-c>0

∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0

∴a-c>b-d

证法二： c-d

又 a>b,∴a+(-c)>b+(-d),即 a-c>b-d

温馨提示 证法一利用了实数大小比较的符号法则,也称作差法,这是证明不等式的基本方法,不等式性质定理的证明也是用此法

证法二是直接利用了不等式性质定理,即同向不等式的可加性

不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据,应正确地熟练应用

各个击破类题演练 1若 a>b>0,求证:a2>ab>b2

证明: a>b,∴a-b>0

又 a>0,∴a(a-b)>0

∴a2-ab>0

∴a2>ab

又 a>b,∴a-b>0

又 b>0,∴b(a-b)>0

∴ab-b2>0

∴ab>b2

据不等式的传递性,即 a2>ab>b2

变式提升 1若 a,b,c,d∈R+,且,dcba 求证:dcdbcaba

证明: a,b,c,d∈R+,且dcba ,∴bdbcaddcba0,求证:baab22≥a+b

证明：baab22-(a+b)=abbababa))((22

=abbaba2))(( a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,(a-b)2≥0

∴baab22≥a+b

温馨提示 作差法是比较两个实数大小的重要方法,利用作差法比较两个实数的大小,一般有如下步骤:第一步:作差;第二步:变形

常采用因式分解,配方等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号

就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0

最后得出结论

概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键

类题演练 2已知 a≥1,比较 M=aa1与 N=1aa的大小

解析:M-N=(aa1