高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 基本不等式（1）课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.3 基本不等式（1）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例 1】 a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),当且仅当 a=b=c 时取等号.思路分析:由于 a4+b4≥2a2b2,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b2c2≥2ab2c,而 ab2c 就是右式中的一项.证明： a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.又 a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2bc2a,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2a+a2bc),即 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).以上各式当且仅当 a=b=c 时取等号.温馨提示 在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式,可考虑用均值不等式来证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题. 本题中,字母 a,b,c 是可轮换的(即 a→b,b→c,c→a 式子不变),这称为轮换对称式,轮换对称式的证明都可用此技巧.各个击破类题演练 1已知 a,b,c∈(0,+∞),求证:accbba222≥a+b+c.证明: a,b,c∈(0,+∞),∴bbabba222=2a.①同理,ccbccb222=2b,②aaccac222=2c,③∴(accbba222)+(a+b+c)≥2(a+b+c).∴accbba222≥a+b+c.变式提升 1设 a,b,c 为不全相等的正数,求证:1ccbabbacaacb>3.证明:左式=( ab + ba )+(cbbc )+(acca )-3, ab + ba ≥2,cbbc )≥2 acca ≥2,又 a,b,c 为不全相等的正数,故等号不可能同时取得,∴( ab + ba )+(cbbc )+(acca )>6.因此原不等式成立.二、利用基本不等式证明条件不等式【例 2】 已知 x,y>0,且 x+y=1,求证:(1+x1 )(1+y1 )≥9.思路分析:最突出的一点,要证的不等式中有四个“1”,而已知条件 x+y=1,又一个“1”,如何用好这些“1”呢?证法一:(1+x1 )(1+y1 )=1+x1 +y1 +xy1=1+xyyxyyxxyx=3+yxyxxy11 =3+yyxxyxyxxy=5+2(yxxy )≥5+2×12=9.∴原不等式成立.证法二：(1+x1 )(1+y1 )=xyyxxyxyxyyxxyyx)(25)2)(2()1)(1(22 xyxyxyyx225)(25222∴原不等式成立.证法三:设 x=cos2θ,y=sin2θ,θ∈(0, 2 ),∴(1+x1 )(1+y1 )=(2+tan2θ)(2+cot2θ)=5+2(tan2θ+cot2θ)≥5+2×22cottan1=9.温馨提示 在运用基本不等式时,活用“1”,巧用“1”,解法就会非常简洁.类题演练 2已知 x>0,y>0,且 x+4y=1,求证:(1)yx14 =8+yxxy 16;(2)y...