高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式知识导航学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.3.三个正数的算术—几何平均不等式知识梳理 1.三个正数的算术—几何平均不等式.如果 a,b,c∈R+,那么3cba≥_________,当且仅当_________时，等号成立.2.n 个正数 a1,a2,…,an的算术—几何平均不等式.对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即naaan21≥_________.当且仅当_________时，等号成立.知识导学 三个及三个以上正数的算术—几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的使用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”. n 个正数 a1,a2,…,an的算术平均是naaan21,几何平均是 nnaaa21,在应用时，最容易被误写为221naaa及naaa21,这是受两个正数的均值定理的影响造成的. 应用三个正数的算术平均—几何平均不等式时还可能用到下面的重要不等式链：3311132223cbacbaabccba.疑难突破 1.三个正数或三个以上正数的均值定理的应用条件 “一正”：不论是三个数的或者 n 个数的均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥33 abc .取 a=b=-2,c=2 时，a+b+c=-2.而33 abc =6.显然-2≥6 不成立.“二定”：包含两类求最值问题：一是已知 n 个正数的和为定值（即 a1+a2+…+an为定值），求其积 a1·a2…an的最大值；二是已知乘积 a1·a2…an为定值，求其和 a1+a2+…+an的最小值. “三相等”：取“=”号的条件是 a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部分相等.重要不等式 a2+b2≥2ab 与 a3+b3+c3≥3abc 的运用条件不一样，前者 a,b∈R,后面 a,b,c∈R+.要注意区别. 2.使用基本不等式中的变形与拼凑方法 为了使用均值定理求最值（或范围）等，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如 y=224224xxx,其中把x2拆作2222xx 两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y=44x+x2=44x+42x+143 x2,虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“=”号的条件是44x+42x=43 x2,显然 x 无解.2