高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.4 基本不等式（2）课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.4 基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例 1】若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( )A.2∈M,0∈M B.2M,0MC.2∈M,0M D.2M,0∈M解析:M={x|x≤1424kk}, 151142424kkkk=k2-1+152 k=(k2+1)+152 k-2≥52-2>2,∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示 本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式1424kk经过变形化为“x+ xa (a>0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+ xa(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练 1已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=22,记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程;(2)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OBOA的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=22知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a=2 .又半焦距 c=2,故 b=222 ac.所以 W 的方程为2222yx =1(x≥2).(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令 si=xi+yi,ti=xi-yi,则 siti=2,且 si>0,ti>0(i=1,2),1所以OBOA=x1x2+y1y2= 41 (s1+t1)(s2+t2)+ 41 (s1-t1)(s2-t2)= 21 s1s2+ 21 t1t2≥2121ttss=2.当且仅当 s1s2=t1t2,即2121,yyxx时“=”成立,所以OBOA的最小值是 2.变式提升 1若对任意正数 x,y,都有 a≤xyxyx22,则实数 a 的最大值是( )A.21 B.2 C.1222 D.1221解析:由xyxyx22≥yxxyx2=21 ,故选 A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例 2】 已知 x>0,y>0,且x1 +y9 =1,求 x+y 的最小值.解法一: x>0,y>0,x1 +y9 =1,∴x+y=(x+y)(x1 +y9 )=10+yxxy9≥10+6=16,当且仅当yxxy9.又 x1 +y9 =1,∴x=4,y=12 时，上式等号成立.故当 x=4,y=12 时，x+y 取最小值 16.解法二: x1 +y9 =1,x>0,y>0,∴y=19xx 且 x>1.故 x+y=x+19xx =x+19x+9=(x-1)+19x+10≥6+10=16.当且仅当 x-1=19x， x>1,2∴x=4 时上式等号成立.解法三: x1 +y9 =1,∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知 x>1,y>9,∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥)9)(1(2yx+10=16.当且仅当 x-1=y-9=3,即 x=4,y=12 时，x+y 取最小值 16.温馨提示 解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一...