高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.5 三个正数的算术—几何平均不等式（1）课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.5 三个正数的算术—几何平均不等式（1）课堂导学三点剖析一、利用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式【例 1】 (1)已知 ai∈R+(i=1,2,3,…,n),且 a1a2…an=1. 求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.(2)已知 a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证: a1 + b1 + c1 ≥9.证明：(1) a1>0,∴2+a1=1+1+a1≥3· 31a >0.同理,2+a2=1+1+a2≥323 a>0,……2+an=1+1+an≥33na>0,∴(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n· 321naaa=3n.∴原不等式成立.(2) a+b+c≥3· 3 abc ,a+b+c=1,∴ 3 abc ≤31 .∴31abc≥3.∴a1 +b1 +c1 ≥3· 31abc≥9.∴原不等式成立.温馨提示 在利用三元均值不等式33abccba证明不等式时,要注意把握三元均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题.各个击破类题演练 1设 a,b,c>0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证法一:左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥3· 3333cba+3· 3333cba=6abc,∴原不等式成立.证法二:左边=(ba2+bc2)+(ab2+ac2)+(ca2+cb2)≥2abc+2abc+2abc=6abc,∴原不等式成立.变式提升 1设 a,b,c>0,求证:cabcbabac≥ 23 .1证明: (bac+1)+(cba+1)+(cab+1)=(a+b+c)(accbba111)= 21 ［(a+b)+(c+b)+(c+a)］·(accbba111)≥21 ·3·29))()((13))()((33accbbaaccbba,∴cabcbabac≥ 23 .二、利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值【例 2】 求函数 f(x)=x(5-2x)2(0