1.1 不等式 2课堂探究认识基本不等式中的数 a，b剖析：在利用基本不等式时，要准确定位其中的“数”．例如在试题“已知 2x＋y＝1，x，y＞0，求 xy 的最大值”中，“两个数”不是“x”与“y”，而是已知条件中的“2x”与“y”，这是因为定值是“2x＋y＝1”，而“x＋y”不是定值，因而要求 xy 的最大值应视作求(2x)·y 的最大值，即xy＝(2x)·y≤×2＝，当且仅当 2x＝y，即 x＝，y＝时，等号成立．在基本不等式中，准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提．再如：在“设实数 a，b，x，y 满足 a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，求 ax＋by 的最大值”中要求的“ax＋by”，似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值．ax＋by≤＋＝＝2.但是这种解法不正确，这四个数分两组使用基本不等式，不符合使用的条件，本题中取“＝”的条件是这与 a2＋b2＝1 和 x2＋y2＝3 矛盾．因此正确的解法应是三角换元法：令 a＝cos α，b＝sin α，x＝cos β，y＝sin β，∴ax＋by＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝(cos αcos β＋sin αsin β)＝cos(α－β)≤，当且仅当 cos(α－β)＝1，即 α＝β 时，等号成立．∴ax＋by 的最大值是.题型一 利用基本不等式证明不等式【例 1】已知 a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1.求证：≥8.分析：不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，－1＝＝≥，可由此变形入手．证明： a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥.同理：－1≥，－1≥.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当 a＝b＝c＝时取等号．反思 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.题型二 利用基本不等式求函数最值【例 2】已知 x＜，求函数 y＝4x－2＋的最大值．分析：由 x＜，可知 4x－5＜0，转化为变量大于零，首先调整符号，配凑积为定值．解： x＜，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时上式等号成立．∴当 x＝1 时，y 的最大值为 1.反思 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：1(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进...
