1.1 不等式 3课堂探究1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者 n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如 a＋b＋c≥3，取 a＝b＝－2，c＝2 时，a＋b＋c＝－2，而 3＝6，显然－2≥6 不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积 a1a2…an的最大值；二是已知乘积 a1a2…an为定值，求其和 a1＋a2＋…＋an的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是 a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等．不等式 a2＋b2≥2ab 与 a3＋b3＋c3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求 a，b∈R，后面要求 a，b，c∈R＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如 y＝＋x2＝＋＋，其中把 x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是＝＝x2，显然 x 无解．题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值【例 1】已知 x＞0，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×.求出最值后再开方．解： y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·. 2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤3＝.当且仅当 2x2＝1－x2，即 x＝时取等号成立．∴y≤.∴y 的最大值为.反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤3＝.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例 2】设 a，b，c＞0，求证：(a＋b＋c)≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证...
