高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理 1 和定理 2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1 函数 f(x)＝x＋的最小值是 2 吗？探究 2 在基本不等式≥中，为什么要求 a>0，b>0?探究 3 利用≥求最值的条件是怎样的？探究 4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a－b)2≥0⇔a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)均值不等式≥(a，b∈R＋)．这两个不等式都是在 a＝b 时，等号成立．而(1)只要求 a，b∈R，而公式(2)条件加强了，要求 a>0，b>0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a＋≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)．当 ab>0 时，＋≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)．a2＋b2≥≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2；(2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值.在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果.例 1 已知 a，b，c 为正实数，求证：(1)≥8；(2)a＋b＋c≥＋＋.变式练习1．设 a，b，c∈R＋，求证： ＋＋≥(a＋b＋c)．例 2 已知 x＞0，y＞0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．变式练习2．求函数 f(x)＝(x＞0)的最大值及此时 x 的值．例 3 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米 长造价 40 元，两侧用砖墙，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价20 元．仓库底面积 S 的 最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究 1【提示】 函数 f(x)＝x＋的最小值不是 2.当 x>0 时，f(x)＝x＋...