1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式预习目标1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．一、预习要点教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式阅读教材 P8～P9定理 3，完成下列问题．1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．2．定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．即三个正数的算术平均 它们的几何平均．教材整理 2 基本不等式的推广阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题．对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理 3 利用基本不等式求最值阅读教材 P9～P9“习题 1.1”以上部分，完成下列问题．若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 时，积 abc 有 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和 有最小值．二、预习检测1．设 x＞0，则 y＝x＋的最小值为( )A．2 B．2C．3 D．32．设 x，y，z∈R＋且 x＋y＋z＝6，则 lgx＋lgy＋lgz 的取值范围是( )A．(－∞，lg 6] B．(－∞， 3lg 2]C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)3．若实数 x，y 满足 xy＞0，且 x2y＝2，则 xy＋x2的最小值是( )A．1 B．2C．3 D．44．已知 a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x5．若 a＞2，b＞3，则 a＋b＋的最小值为________．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。参考答案一、预习要点教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式1.≥ a＝b＝c 2. ≥ a＝b＝c 不小于教材整理 2 基本不等式的推广不小于 ≥教材整理3 利用基本不等式求最值a＝b＝c 最大 a＋b＋c二、预习检测1.解析：选 D y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，当且仅当＝时取“＝”号．2.解析：选 B ∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，而 xyz≤，∴lg(xyz)≤lg8＝3lg2(当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)．3.解析： 选 C xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3(当且仅当 xy＝x2，即 x＝1，y＝2 时，等号成立)．4.解析：选 B ∵a，b，c∈R＋，∴≥，∴x≥y，又 x2＝，z2＝，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x.即 y≤x≤z.5.解析：∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0.∴a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8.(当且仅当 a＝3，b＝4 时等号成立)．答案：8
