高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术几何平均数学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.1.3 三个正数的算术几何平均数预习案一、预习目标及范围1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．二、预习要点教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．2．定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．即三个正数的算术平均 它们的几何平均．教材整理 2 基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理 3 利用基本不等式求最值若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 时，积 abc 有 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和 有最小值．三、预习检测1.已知 a，b，c 为正数，则＋＋有( )A．最小值 为 3B．最大值为 3C．最小值为 2D.最大值为 22.设 x＞0，则 y＝x＋的最小值为( )A．2 B．2C．3D.33．函数 f( x)＝5x＋(x>0)的最小值为________.探究案一 、合作探究题型一、证明简单的不等式例 1 设 a，b，c 为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．[再练一题]1．设 a，b，c 为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81.题型二、用平均不等式求解实际问题例 2 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然 是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝k.这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】 根据题设条件建立 r 与 θ 的关系式，将它代入 E＝k，得到以 θ 为自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．[再练一题]2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面 的金属板的价格为每平方米 30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米 20 元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？题型三、利用平均不等式求最值例 3 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－...