5 已知三角函数值求角[课程目标] 1
会由已知三角函数值求角．2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx 表示角．3．已知三角函数值，会使用计算器求角．[填一填]1．已知正弦值，求角对于正弦函数 y＝sinx，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arcsin y
2．已知余弦值，求角对于余弦函数 y＝cosx，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在[0 ， π] 上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arccos y (－1≤y≤1,0≤x≤π)．3．已知正切值，求角如果正切函数 y＝tanx(y∈R)且 x∈，那么对每一个正切值 y，在开区间内有且只有一个角 x，使 tanx＝y，记作 x＝arctan y
[答一答]1．如何理解反正弦函数
提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此 arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于 y 的角，原因是是函数y＝sinx 的一个单调区间，对于每一个可能的值 y(|y|≤1)，在这个区间上都有唯一的 x 值和它对应；反之，对于上每一个 x 的值，在区间[－1,1]上都有唯一的 y 值和它对应，因此，函数 y＝sinx 在上存在反函数，并且把这个反函数记为 x＝arcsiny，因此它的定义域为[－1,1]，值域为
(2)要熟练地记住下列特殊的 y 值对应的角，arcsin＝±；arcsin＝±；arcsin＝±等．对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如 sinx＝时，x＝arcsin，若 sinx＝－时，x＝arcsin＝－arcsin
即 y＝arcsinx 表
