7．3.5 已知三角函数值求角[课程目标] 1.会由已知三角函数值求角．2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx 表示角．3．已知三角函数值，会使用计算器求角．[填一填]1．已知正弦值，求角对于正弦函数 y＝sinx，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arcsin y .2．已知余弦值，求角对于余弦函数 y＝cosx，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在[0 ， π] 上有唯一的 x 值和它对应，记作 x＝arccos y (－1≤y≤1,0≤x≤π)．3．已知正切值，求角如果正切函数 y＝tanx(y∈R)且 x∈，那么对每一个正切值 y，在开区间内有且只有一个角 x，使 tanx＝y，记作 x＝arctan y .[答一答]1．如何理解反正弦函数？提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此 arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于 y 的角，原因是是函数y＝sinx 的一个单调区间，对于每一个可能的值 y(|y|≤1)，在这个区间上都有唯一的 x 值和它对应；反之，对于上每一个 x 的值，在区间[－1,1]上都有唯一的 y 值和它对应，因此，函数 y＝sinx 在上存在反函数，并且把这个反函数记为 x＝arcsiny，因此它的定义域为[－1,1]，值域为.(2)要熟练地记住下列特殊的 y 值对应的角，arcsin＝±；arcsin＝±；arcsin＝±等．对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如 sinx＝时，x＝arcsin，若 sinx＝－时，x＝arcsin＝－arcsin.即 y＝arcsinx 表示内的一个角．2．怎样由三角函数值求角？提示：已知角 x 的一个三角函数值，求角 x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当三角函数值不是 1 或 0 时，可以分为以下几步来解决：第一步，确定角 x 可能是第几象限角．确定的方法有两种：一是借助单位圆运用三角函数线来判断，根据已知的三角函数值，画出相应的三角函数线．二是借助三角函数的图像来思考．第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角 x1.第三步，如果函数值为负数，则根据角 x 可能是第几象限角，得出(0,2π)内对应的角．如果是第二象限角，那么可表...
