1.2.2 组合 2课堂导学三点剖析一、解排列问题的直接求法和间接求法【例 1】 6 个人排值日，每日一人，甲不排星期一，乙不排星期二，丙不排星期三，共有多少种不同的排法.解析：正面思考，情形太繁多，不易解决，考虑问题的反面，即甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三，其中至少有一种情况发生.甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三可能排法的集合依次用 A、B、C 表示.那么，不符合题意的排法共有 Card(A∪B∪C)种.因为 Card(A∪B∪C)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(A∩B)-Card(B∩C)-Card(C∩A)+Card(A∩B∩C)=334423553AACA，所以符合题意的排法共有)3(3344235566AACAA=426(种).温馨提示 排列问题大多使用直接法求解.但有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手，这时往往从问题的反面考虑更容易解决.因此，在解排列问题时直接求法和间接求法互相补充.二、允许重复的排列问题的求法【例 2】 四本读物中有三本是相同的，把这四本读物平均分给四个人，有多少种不同的分法？解析：设所求的分法有 N 种，在每一种分法里，有三人分得的是相同的读物，一人分得的是不同的读物，假定其中第二人分得读物是 b，第一、第三、第四人分得的读物都是 a，因为把三本不同的书籍分给三人有33A 种方法，所以如果把三本相同的书籍换成三本不同的书籍a1,a2,a3，那么这时分法的种数是原来的33A 倍，也就是说，把 a1,a2,a3,b 四本不同的书籍分给四人的方法种数（有14A 种）是把 a,a,a,b 四本书分给四人的方法种数的33A 倍，即14A =33NA ，所以 N=3344AA=4(种)三、树形图在解排列问题中的应用【例 3】某工程由 A，B，C，D，E，F，G，H，I 9 个工序组成，由众多的施工队施工，当工序甲只有在工序乙完成后才能开工时，我们称工序乙是工序甲的紧前工序，现在这 9 个工序的关系及所需要工时（天）如下表：工序ABCDEFGHI紧前工序-AA-C，IB，C，IE，FDD所需工时622443125试问该工程至少需要多少天才能完成，并给出工序的安排.解析：给出工序的安排，也就是要正确画出体现工序之间衔接关系的工程网络树形图，求出其关键路线，就可知道整个工程的总工期.依题意画出工程网络树形图（如图），由图易知：①→③→④→⑥→⑦ 所需时间最长，它表明整个工程的总工程至少为 4+5+4+1=14（天）.1很明显，在①→②→④→⑥→⑦这条路线上的工序，若有一个延迟一天，整个工程就要推迟一天，而不在这条路线上的工序对总工期就...
