2．基本不等式1．基本不等式的理解重要不等式 a2＋b2≥2ab 和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a与 b 都为实数，并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是 a 与 b都为正实数，并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如 a＝0，b≥0 仍然能使≥成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是 a ＝ b
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥；(2)ab≤；(3)ab≤2；(4)2≤；(5)(a＋b)2≥4ab
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1
求证：＋＋≥9
解答本题可先利用 1 进行代换，再用基本不等式来证明． 法一： a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．即＋＋≥9
法二： a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．∴＋＋≥9
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．11．已知 x1，x2，x3为正实数，若 x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1
证明：因为 x1，x2，x3为正实数，所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，当且仅当 x1＝x2＝x3时，等号成立．所以＋＋≥1
2．已知 a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c
证明： a，b，c，，，均大于 0，又＋b≥2 ＝2a，＋c≥2 ＝2b，＋a≥2 ＝2c，∴＋＋≥2(a＋b＋c)．即＋＋≥a＋b＋c
当且仅当＝b，＝c，＝a，即 a＝b＝c 时，等号成
