高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术 几何平均不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

3．三个正数的算术几何平均不等式 1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程． 2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值．3．会用平均不等式解决实际中的应用问题．, [学生用书 P9])1．三个正数的算术几何平均不等式(定理 3)如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立．2．基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意 n 个数的算术平均值不小于它们的几何平均值．( )(2)≥只对 n＝2 和 n＝3 的情形适用．( )(3)算数几何平均不等式是针对 n 个正数而言的，否则不一定成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．若 a，b，c 都是正数且 a＋b＋c＝6，则 abc 的最大值为( )A．2 B．27C．8 D．3解析：选 C.因为 a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝6，所以 abc≤＝＝8，当且仅当 a＝b＝c＝2 时“＝”成立．3．函数 y＝2x2＋(x∈R＋)的最小值为( )A．6 B．7C．8 D．9答案：A 用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式[学生用书 P9] 已知实数 a，b，c，d 满足 a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.【证明】 因为 a＞b＞c＞d，所以 a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，a－d＞0，所以(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9，即＋＋≥，当且仅当 a－b＝b－c＝c－d 时，等号成立．证明不等式的方法1(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子． 1.已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为 x＞0，y＞0，所以 1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.2．已知 x，y 均为正数，且 x＞y，求证：2x＋≥2y＋3.证明：因为 x＞0，y＞0，x－y＞0，所以 2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，等号成立的条件是＝x－y，即 x－y＝1.所以 2x＋≥2y＋3. 利用三个正数的算术几何平均不等式求最值[学生用书 P10] 求函数 y＝x＋(x>1)的最小值．【解】 因为 x>1，所以 x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即 x＝3 时等号成立．即 ymin＝4.用平均不等式求最值...