3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理 3如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式≥成立的条件是：a ， b ， c 均为正数 ，而等号成立的条件是：当且仅当 a ＝ b ＝ c
(2)定理 3 可变形为：① abc≤3；② a3＋b3＋c3≥3abc
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．2．定理 3 的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，等号成立．用平均不等式证明不等式 已知 a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥3
欲证不等式的右边为常数 3，联想到不等式 a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形． ＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．1．已知 x＞0，y＞0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy
证明：因为 x＞0，y＞0，所以 1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy
2．已知 a1，a2，…，an都是正数，且 a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n
证明： a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有 2＋a1＝1＋1＋a1≥3
同理 2＋aj≥3 (j＝2,3，…，n)．将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a1)(2＋
