3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理 3如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式≥成立的条件是：a ， b ， c 均为正数 ，而等号成立的条件是：当且仅当 a ＝ b ＝ c .(2)定理 3 可变形为：① abc≤3；② a3＋b3＋c3≥3abc.(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．2．定理 3 的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，等号成立．用平均不等式证明不等式 已知 a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥3. 欲证不等式的右边为常数 3，联想到不等式 a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形． ＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3.当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．1．已知 x＞0，y＞0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为 x＞0，y＞0，所以 1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.2．已知 a1，a2，…，an都是正数，且 a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.证明： a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有 2＋a1＝1＋1＋a1≥3.同理 2＋aj≥3 (j＝2,3，…，n)．将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥(3)(3)…(3)＝3n·. a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.当且仅当 a1＝a2＝…＝an＝1 时，等号成立.1用平均不等式求最值 (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．(2)求函数 y＝x＋(x>1)的最小值． 对于积的形式求最大值，应构造和为定值．(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． (1) 10，x－1>0.y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当 x－1＝x－1＝3－2x，即 x＝∈时，ymax＝.(2) x＞1，∴x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即 x＝3 时，等号成立．即 ymin＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定...
