高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式（第3课时）学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

一 不等式3.三个正数的算术－几何平均不等式1．了解三个正数的算术－几何平均不等式．2．会应用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单问题．1．三个正数的算术－几何平均不等式如果 a，b，c∈R＋，那么≥________，当且仅当________ 时，等号成立．【做一做 1－1】 若 x＞0，则 4x＋的最小值是( )A．9 B．3 C．13 D．不存在【做一做 1－2】 若 logxy＝－2，则 x＋y 的最小值是( )A. B. C. D.2．n 个正数 a1，a2，…，an的算术－几何平均不等式对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均______它们的几何平均，即____________.当且仅当____________时，等号成立．从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点．【做一做 2】 已知 a，b，c∈R＋，则(＋＋)(＋＋)≥______.答案：1. a＝b＝c【做一做 1－1】 B x＞0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当 2x＝，即 x＝时等号成立．【做一做 1－2】 A logxy＝－2，∴x＞0 且 x≠1，y＞0，且 y＝x－2.∴x＋y＝x＋x－2＝＋＋≥3＝.当且仅当＝即 x＝时等号成立．2．不小于 ≥ a1＝a2＝…＝an【做一做 2】 9 (＋＋)(＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.当且仅当 a＝b＝c 时取等号．1．三个正数或三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数的或者 n 个数的算术－几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如 a＋b＋c≥3，取 a＝b＝－2，c＝2 时，a＋b＋c＝－2，而 3＝6，显然－2≥6 不成立．1“二定”：包含两类求最值问题：一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积 a1a2…an的最大值；二是已知乘积 a1a2…an为定值，求其和 a1＋a2＋…＋an的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是 a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等．不等式 a2＋b2≥2ab 与 a3＋b3＋c3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求 a，b∈R，后面要求 a，b，c∈R＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术－几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如 y＝＋x2＝＋＋，其中把 x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因...