高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.3 组合（1）课堂导学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.2.3 组合（1）课堂导学三点剖析一、有限制条件的组合问题——“在”与“不在”问题【例 1】一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球.（1）从口袋内取出 3 个球，共有多少不同的取法？（2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，共有多少种取法？（3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，共有多少取法？解析：（1）从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数是!367838C=56答：从口袋内取出 3 个球，共有 56 种取法.（2）从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是!26727C=21.答：取出含有 1 个黑球的 3 个球，共有 21 种取法.（3）由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是!356737C=35答：取出不含黑球的 3 个球，共有 35 种取法.温馨提示(1)从 n 个不同的元素中，每次取出 m 个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的 n-1 个元素中每次取出 m-1 个元素，再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为11mnC.(2)从 n 个不同的元素中，每次取出 m 个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：① 将这个特定元素选出，而从其余的 n-1 个元素中每次取 m 个不同元素的组合，这些组合显然必符合条件，为mnC1种；② 以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为mnC-11mnC种.二、有限制条件的组合问题——“至多”“至少”问题【例 2】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种思路分析：取出的 3 台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2 甲 1 乙或1 甲 2 乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.解法一 从 4 台甲型电视机中取 2 台且从 5 台乙型电视机中取 1 台，有1524CC 种取法；从 4台甲型电视机中取 1 台且从 5 台乙型电视机中取 2 台有1425CC 种取法，所以取出的 3 台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有1524CC +2514CC  =70(种).1解法二 从所有的 9 台电视机中取 3 台有39C 种取法，其中全为甲型的有34C 种取法，全为...