高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 第2课时 基本不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第 2 课时 基本不等式学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理 1)和基本不等式(定理 2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理 2)解决某些实际问题．知识点 基本不等式思考 回顾 a2＋b2≥2ab 的证明过程，并说明等号成立的条件．答案 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab.梳理 (1)重要不等式定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(2)基本不等式① 定理 2：如果 a，b＞0，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立 .② 定理 2 的应用：对两个正实数 x，y，(ⅰ)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x ＝ y 时，它们的积 P 取得最大值；(ⅱ)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x ＝ y 时，它们的和 S 取得最小值.类型一 不等式的证明例 1 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明 方法一 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．∴＋＋≥9.方法二 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．∴＋＋≥9.引申探究1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.证明 a2＋b2≥2ab，∴≥2a－b.同理，≥2b－c，≥2c－a.∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.2．若本例条件不变，求证：＋＋≥.证明 a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.又 a，b，c∈R＋，∴≥|a＋b|＝(a＋b)．同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．三式相加，得＋＋≥(a＋b＋c)＝，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1 (1)已知 a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；(2)已知 a＞0，b＞0 且 a＋b＝1，求证：≥9.证明 (1) a，b，c，d，∈R＋，∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当 a＝d 且 b＝c 时取等号．(2)＝＝＝4＋2＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当 a＝b＝时取等号．∴≥9.类型二 利用基本不等式求最值例 2 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求＋的最小...