高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第 3 课时 三个正数的算术—几何平均不等式学习目标 1.理解定理 3.2.能用定理 3 及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题．知识点 三项均值不等式思考 类比基本不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出 a，b，c∈R＋时，三项的均值不等式．答案 ≥.梳理 (1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理 3)如果 a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立．(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．(3)重要变形及结论①abc≤3；② a3＋b3＋c3≥3abc；③≤≤≤.上式中 a，b，c 均为正数，等号成立的条件均为 a＝b＝c.类型一 用平均不等式求最值例 1 (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；(2)求函数 y＝x＋(x＞1)的最小值．解 (1) 1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.又 y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当 x－1＝x－1＝3－2x，即 x＝∈时，ymax＝.(2) x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3 ＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即 x＝3 时等号成立．即 ymin＝4.反思与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1 求函数 y＝(1－3x)2·x 的最大值．解 y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤3＝，当且仅当 1－3x＝1－3x＝6x，即 x＝时，ymax＝.类型二 用平均不等式证明不等式例 2 已知 a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.证明 a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2，当且仅当 a＝b＝c，且 abc＝时等号成立．∴a3＋b3＋c3＋≥2.引申探究若本例条件不变，求证：＋＋≥3.证明 ＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．反思与感悟 证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪训练 2 已知 x，y，z ...