第一讲 不等式和绝对值不等式本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查． 若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则( )A．a2＞b2B.＜1C．lg(a－b)＞0D.＜[解析] 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．a＞b 并不能保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、B 成立．又 a＞b⇔a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝是减函数，所以 a＞b⇔＜成立．[答案] D1．证明不等式不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好． 已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求证：·≥9.[证明] 法一： x＋y＝1，∴＝＝1＋，∴＝＝1＋，∴＝＝5＋2≥5＋2×2 ＝9.当且仅当＝，x＋y＝1，即 x＝y＝时等号成立．法二： x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴xy≤＝，∴≥4.∴＝1＋＋＋＝1＋＋1＋＋1＋＝3＋＋＋≥3＋4＋2 ＝9.当且仅当＝，x＋y＝1，即 x＝y＝时等号成立． 若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥.[证明] a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)．∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥3×3＝9.∴原式得证．2．求函数的最值在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：① x、y 为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可． 已知 0＜x＜，求函数 y＝x(1－3x)的最大值．[解] y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)， 0＜x＜，∴1－3x＞0，x＞0.∴y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)≤×＝.当且仅当 3x＝1－3x即 x＝，y 有最大值. 当 00.故 f(x)＝＋4tan x≥2 ＝4，故选 C.[答案] C3．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数 y＝x＋的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变...
