高中数学 第一讲 坐标系 三 第二课时 直线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

第 2 课时 直线的极坐标方程学习目标 1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．知识点 直线的极坐标方程思考 1 直线 l 的极坐标方程 f(ρ，θ)＝0 应该有什么要求？答案 ①直线 l 上任意一点 M 至少有一个极坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0；② 以 f(ρ，θ)＝0 的解为坐标的点都在直线 l 上．思考 2 过极点 O 且倾斜角 θ＝的直线的极坐标方程是什么？答案 θ＝(ρ∈R)．梳理 直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为 α(1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，且与极轴垂直ρ cos θ ＝a过点，且与极轴平行ρ sin θ ＝a(0<θ<π)类型一 求直线的极坐标方程例 1 在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程．解 令 A(3，π)，设直线上任意一点 P(ρ，θ)，在△OAP 中，∠APO＝θ－，由正弦定理＝，得 ρsin＝.又因为点 A(3，π)适合上式，故所求直线的极坐标方程为 ρsin＝.引申探究在本例条件下，若倾斜角改为，求直线的极坐标方程．解 设 P(ρ，θ)为直线上的任意一点，在△AOP 中，ρcos(π－θ)＝3，∴ρcosθ＝－3.又点 A(3，π)适合 ρcosθ＝－3，∴直线的方程为 ρcosθ＝－3.反思与感悟 (1)求直线的极坐标方程的一般方法设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ 的关系式，即为直线的极坐标方程．(2)求直线的极坐标方程的注意事项① 当 ρ≥0 时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；② 当规定了“负极径”的意义，即 ρ∈R 时，直线的极坐标方程就是惟一的了．跟踪训练 1 在极坐标系中，直线 l 经过点 M，且该直线与极轴所成的角为，求直线 l 的极坐标方程．解 方法一 设 P(ρ，θ)是直线上除 M 点外任意一点，则在△OPM 中，|OP|＝ρ，∠POM＝－θ 或 θ－，∠OPM＝θ－或－θ，∠OMP＝或.由正弦定理，有＝，即＝. sin＝sin＝sin，∴ρsin＝，又 M 满足该式，∴直线 l 的极坐标方程为 ρsin＝.方法二 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则点 M 的直角坐标为(0,3)．过点 M 且倾斜角为的直线 l 的直角...