高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程互动课堂学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

三 简单曲线的极坐标方程互动课堂重难突破本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.一、在极坐标系中,平面曲线的极坐标方程 f(ρ,θ)=0.1.一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 称为曲线 C 的极坐标方程.2.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量 x、y 的方程表示；同样地,在极坐标系中，曲线可以用含有 ρ、θ 这两个变量的方程 f(ρ,θ)=0 来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.3.求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标 ρ、θ 的关系式 f(ρ,θ)=0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.注意:(1)在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立 ρ、θ 之间的关系.此法称作三角形法.(2)在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简.二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.1.对极径 ρ<0 的理解.根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加 π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转 π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(...