三 简单曲线的极坐标方程预习导航课程目标学习脉络1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程．2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.1．圆的极坐标方程(1)曲线 C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f ( ρ ， θ ) ＝ 0 ，并且坐标适合方程 f ( ρ ， θ ) ＝ 0 的点 都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程．名师点拨 (1)平面上点的极坐标的表示形式不唯一．(2)我们遇到的极坐标方程多是 ρ＝ρ(θ)的形式，即 ρ 为 θ 的一个函数．(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程 ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若 ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若 ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于过极点且垂直于极轴的直线对称；若 ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点 O 对称．(2)圆经过极点 O，圆心坐标是 C(a,0)(a＞0)，则圆的极坐标方程是 ρ ＝ 2 a cos _θ.2．直线的极坐标方程直线 l 经过极点，极轴与直线 l 的夹角是 α，则直线 l 的极坐标方程为 θ ＝ α (ρ∈R)．名师点拨 求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之间的关系．思考 1 曲线与方程在直角坐标系与极坐标系中的区别是什么？提示：(1)在平面直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．(2)在平面直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线 ρ＝θ，设点 P 的一个极坐标为，那么点 P 适合方程 ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐标就不适合方程 ρ＝θ 了．所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有一种形式适合曲线 C 的方程即可．思考 2 怎样求极坐标方程，步骤是什么？提示：(1)建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．1
