第 1 课时 均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均值与几何平均值对任意两个正实数 a，b，数叫做 a，b 的算术平均值，数叫做 a，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二 均值不等式常见推论1．均值定理如果 a，b∈R＋，那么≥．当且仅当 a＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．2．常见推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．1．对于任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab．( √ )2．n∈N＋时，n＋≥2．( √ )3．x≠0 时，x＋≥2．( × )4．a>0，b>0 时，＋≥．( √ )题型一 常见推论的证明例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．引申探究1．求证≥(a＞0，b＞0)．证明 方法一 －＝[()2＋()2－2·]＝·(－)2≥0，当且仅当＝，即 a＝b 时，等号成立．方法二 由例 1 知，a2＋b2≥2ab．∴当 a＞0，b＞0 时有()2＋()2≥2，即 a＋b≥2，≥．2．证明不等式 2≤(a，b∈R)．证明 由例 1，得 a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以 4，即得 2≤，当且仅当 a＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式 a2＋b2≥2ab 和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求 a，b 都是实数，后者要求 a，b 都是正数．跟踪训练 1 当 a＞0，b＞0 时，求证：≤.证明 a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，∴≤，∴≤＝．又 ＝，∴≤(当且仅当 a＝b 时取等号)．题型二 用均值不等式证明不等式例 2 已知 x，y 都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明 (1) x，y 都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当 x＝y 时，等号成立．(2) x，y 都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当 x＝y 时，等号成立．反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转...
