第 2 课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当 a>0，b>0 时，有≤≤≤；当且仅当 a ＝ b 时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值用均值不等式≥求最值应注意：(1)x，y 是否是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．y＝x＋的最小值为 2．( × )2．因为 x2＋1≥2x，当且仅当 x＝1 时取等号．所以当 x＝1 时，(x2＋1)min＝2．( × )3．由于 sin2x＋≥2＝4，所以 sin2x＋的最小值为 4．( × )4．当 x>0 时，x3＋＝x3＋＋≥2＋＝2x＋≥2，∴min＝2．( × )题型一 利用均值不等式求最值命题角度 1 求一元解析式的最值例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋的最小值，并求此时 x 的值；(2)已知 x>2，求 x＋的最小值；(3)设 00 时，x＋≥2＝4，当且仅当 x＝，即 x2＝4，x＝2 时，取等号．∴函数 y＝x＋(x>0)在 x＝2 处取得最小值 4．(2) x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，等号成立．∴x＋的最小值为 6．(3) 00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝．当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝时，等号成立． ∈，∴函数 y＝4x(3－2x)的最大值为．反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练 1 函数 y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．答案 －4解析 x＜0，∴－x＞0，∴(－2x)＋≥2＝4，即 y＝2x＋≤－4．命题角度 2 求二元解析式的最值例 2 (1)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________；(2)若实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________．答案 (1)18 (2)解 析 (1) xy ＝ 2x ＋ y ＋ 6≥2 ＋ 6 ， 设 ＝ t(t ＞ 0) ， 即 t2≥2t ＋ 6 ， (t － 3)(t＋)≥0，∴t≥3，则 xy≥18，当且仅当 ...
