1.1 集合课堂探究探究一 补集的运算1．补集符号∁UA 的三层含义：(1)∁UA 表示一个集合；(2)A 是 U 的子集，即 A⊆U；(3)∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．2．求补集的方法：求给定集合 A 的补集通常利用补集的定义去求，从全集 U 中去掉属于集合 A 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集．也常利用 Venn 图或数轴求解．【典型例题 1】 (1)设全集 U＝{n|n 是小于 10 的正整数}，A＝{n|n 是 3 的倍数n∈U}，求∁UA；(2)设全集 U＝R，集合 A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3
2}．画数轴如图：显然，∁UA∁UB.方法技巧在利用数轴解答集合的运算问题时，要特别注意端点值能否取得．在数轴上表示集合时，点的实(心)空(心)要分清，这样有利于准确解答问题．探究二 交集、并集、补集的综合运算交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并、补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于 Venn 图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交、并、补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．【典型例题 2】 已知全集 U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)．思路分析：由于 U，A，B 均为无限集，所求问题是集合间的交集、并集、补集运算，故考虑借助数轴求解．解：将集合 U，A，B 分别表示在数轴上，如图所示，则∁UA＝{x|－1≤x≤3}；∁UB＝{x|－5≤x<－1，或 1≤x≤3}；方法一：(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}．方法二： A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}．探究三 补集思想的应用有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓解题思路．【典型例题 3】 已知集合 A＝{x|x>a＋5，或 x
