第 3 课时 三角形中的几何计算[目标] 1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论；2.会用正、余弦定理，三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量．[重点] 正、余弦定理、三角形面积公式，余弦定理推论的应用．[难点] 探寻解题的思路与方法．知识点一 三角形面积公式 [填一填]已知△ABC 中，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，其面积为 S，则 S＝bc sin A ＝ac sin B ＝ab sin C .[答一答]1．已知三角形的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，则三角形的面积为( a ＋ b ＋ c ) r .2．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？提示：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积．知识点二 三角形中常用的结论 [填一填]①A＋B＝π－C，＝－；② 在三角形中大边对大角，反之亦然；③ 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；④ 三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sin C ，cos(A＋B)＝－ cos C ，tan(A＋B)＝－ tan C ，sin＝cos，cos＝sin.[答一答]3．在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3，B＝30°，求 a 边用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？提示：用余弦定理简单．由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 32＝a2＋(3)2－2×a×3cos30°，整理得 a2－9a＋18＝0，∴a＝3 或 a＝6.技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时，① 若由已知只求内角，则用正弦定理合适；② 若由已知只求边，则用余弦定理合适．知识点三 几何计算问题的主要类型 [填一填][答一答]4．三角形的两边分别为 3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程 5x2－7x－6＝0 的根，则这个三角形的面积为 6_cm 2 .解析：方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝2(不符合，舍去)，x2＝－，因此两边夹角的余弦值等于－，并可求得正弦值为，于是三角形面积 S＝×3×5×＝6(cm2)． 类型一 与三角形面积有关的计算问题[例 1] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 c＝2，C＝.(1)若△ABC 的面积等于，求 a，b；(2)若 sinB＝2sinA，求△ABC 的面积．[分析] 在分析题目的时候要注意三角形面积公式的特点，S＝absinC 与 c2＝a2＋b2－2abcosC 都含有 ab，这正是解题的突破口．[解] (1)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于，所以 absinC＝，得 ab＝4...
