2 应用举例（三）[学习目标] 1
能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题
掌握三角形面积公式的简单推导和应用．知识点一 三角形常用面积公式及其证明1．公式(1)三角形面积公式 S＝ah．(2)三角形面积公式的推广S＝absin C＝bcsin A＝casin B
(3)S＝r(a ＋ b ＋ c )(r 为三角形内切圆半径)．2．证明(1)三角形面积公式的推广在△ABC 中，边 BC，CA，AB 对应的边长分别为 a，b，c，边上的高分别记为 ha，hb，hc，则ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A
借助上述结论 ，如图，若已知△ ABC 中的边 AC，AB，角 A，那么 AB 边上的高 CD＝b sin __A，△ABC 的面积 S＝bcsin A，同理可求得 S＝absin C＝acsin B
(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC 内切圆半径为 r，三边长为 a，b，c，则△ABC 的面积为 S＝r(a＋b＋c)．如图，设△ABC 内切圆圆心为 O，连接 OA，OB，OC，则 S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝cr＋br＋ar＝(a＋b＋c)r
思考 (1)已知△ABC 的面积为，且 b＝2，c＝，则 A＝________．(2)在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC 的面积等于________．答案 (1)60°或 120° (2)解析 (1)S＝bcsin A＝，∴·2··sin A＝，∴sin A＝，又 A∈(0°，180°)，∴A＝60°或 120°
(2)由正弦定理＝，∴sin C＝＝＝1，又 C∈(0°，180°)，∴C＝90°，∴b＝＝＝
∴S△ABC＝×1×＝
知识点二 多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，特别是面积问题可以利
