3.1.1 两角和与差的余弦课堂导学三点剖析一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用【例 1】 已知 cosα=,cosβ=且 α,β∈(0,),求 cos(α-β).思路分析:联系公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知 α,β 的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用 α,β 单角的三角函数表示 α 与 β 两角差的余弦函数.解：由 cosα=,cosβ=,且 α,β∈(0,),得sinα=,sinβ=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+.各个击破类题演练 1求值:cos(225°-30°).解:cos(225°-30°)=cos225°cos30°+sin225°sin30°=.变式提升 1已知 α,β 都是锐角,sinα=,sin(α-β)=,求 cosβ 的值.解:因为 α 是锐角,sinα=,所以 cosα=.因为 α,β 都是锐角,sin(α-β)=>0,所以 cos(α-β)=.所以 cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=+×=.二、公式的逆用 熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.【例 2】 求值:sin(+3x)cos(-3x)+cos(+3x)cos(+3x).思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.解：原式=sin(3x+)sin(+3x)+cos(+3x)cos(3x+)=cos［(+3x)-(+3x)］=cos(-)=coscos+sin·sin=.类题演练 2化简 cos(α+β)sin(-α)+sinαcos［-(α+β)］.解：原式=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)=cos［α-(a+β)］=cos(-β)=cosβ.变式提升 2已知 cosα-cosβ=,sinα-sinβ=,求 cos(α-β)的值.解：将 cosα-cosβ=和 sinα-sinβ=的两边，分别平方并整理，得cos2α+cos2β-2cosαcosβ=，sin2α+sin2β-2sinαsinβ=，上述两式相加，得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,即 cos(α-β)=.三、公式的灵活运用【例 3】 设 α∈R,若 sinα-cosα=成立,试求实数 m 的取值范围.思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.解：∵sinα-cosα=2(sinα-cosα)=2(sin30°sinα-cos30°cosα)=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)=-2cos(α+30°),又∵α∈R,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,即-2≤≤2.解得-1≤m≤.∴m 的取值范围是-1≤m≤.类题演练 3计算:cos15°-sin15°.解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30°=2sin45°·sin30°=2××=.解法二:原式=(cos15°-sin15°)=(cos45°cos15°-sin45°sin15°)=cos(45°+15°)=cos60°=.变式提升 3在△ABC 中,sinA=,cosB=,求 cosC 的值.解:∵cosB=>0,∴B<90°.∴sinB=.又 sinA=,∴cosA=.(当 cosA=-时,∠A 为钝角,而 sinB>sinA=sin(π-A),∴B>π-A,即 A+B>π,矛盾)∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.
