高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.1.1 两角和与差的余弦课堂探究探究一 直接利用两角和与差的余弦公式公式 Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如，30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．【例 1】 求下列各式的值：(1)cos 15°－cos 75°；(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°；(3)cos 15°－sin 15°．分析：注意结构形式，将其变形为两角和与差的余弦形式，套用公式．解：(1)cos 15°－cos 75°＝cos(60°－45°)－cos(45°＋30°)＝×＋×－×＋×＝．(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°＝cos(20°＋25°)＝．(3) cos 15°－sin 15°＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15°＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝×－×＝．探究二 给值求值问题给值求值问题的主要技巧有两个，一个是已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的正负．二是注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α),4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝(α＋β)＋β 等等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．【例 2】 已知 sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求 cos(α＋β)的值．分析：由公式 Cα＋β可知，欲求 cos(α＋β)的值，应先计算 cos α 和 sin β 的值．解：由 α∈及 sin α＝，得cos α＝－＝－＝－．又由 β∈及 cos β＝－，得sin β＝－＝－＝－．由余弦的和角公式，得cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝．探究三 给值求角问题先根据已知条件求出角的余弦值，然后根据已知条件求出角的范围，从而确定角的大小．【例 3】 已知锐角 α，β 满足 sin α＝，cos β＝，求 α＋β．分析：利用两角和的余弦公式求 α＋β 的余弦值，并结合角 α＋β 的范围进行求解．解：因为 α，β 为锐角，且 sin α＝，cos β＝，所以 cos α＝＝＝，sin β＝＝＝．...