3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学三点剖析一、运用公式求值 对于给角求值题目,一般所给出的角都是非特殊角,必须观察非特殊角与特殊角之间的联系,然后运用和差的正弦公式求解.【例 1】 已知 α 为锐角,且 cosα=,求 sin(α+)的值.思路分析:由 cosα=且 α 为锐角,可求得 sinα 的值,然后直接运用和的正弦公式.解：因为 α 为锐角,且 cosα=,所以 sinα=.所以 sin(α+)=sinαcos+cosαsin=.各个击破类题演练 1求 sin15°+sin75°的值.解:原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30°=2sin45°cos30°=2××=.变式提升 1已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-.求 sin2α.解:由题意得 π<α+β<,0<α-β<,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=.∴sin2α=sin［(α+β)+(α-β)］=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)·sin(α-β)=-×+()×=.二、运用公式化简三角函数式【例 2】 化简:(1)sinx+cosx;(2)sin(-x)+cos(-x).思路分析:每个小题都要做好以下变换:asinα+bcosα=).解：(1)sinx+cosx=(sinx+cosx)=(cossinx+sincosx)=sin(x+).(2)sin(-x)+cos(-x)=［sin(-x)+cos(-x)］=［cossin(-x)+sincos(-x)］=sin(-x+)=sin(π-x).类题演练 2把 2sinx-3cosx 化成 Asin(x+φ)的形式.解：∵a=2,b=-3,A=,∴2sinx-3cosx=sin(x+φ).其中 φ 在第四象限，且 tanφ=.变式提升 2求函数 f(x)=sin(x+)+2sin(x-)的最大值和最小值.解:f(x)=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin=sinx-cosx=(sinx-cosx)=sin(x-),∴f(x)的最大值为,此时 x=+2kπ(k∈Z);f(x)的最小值为-,此时 x=-+2kπ(k∈Z).三、公式的综合运用 公式的综合运用包括公式的变形,三角恒等式的证明以及角的变形技巧.【例 3】 已知 sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.思路分析:在已知当中有 2α+β 角的三角函数,在要证明的三角式中含有 α+β 角和 α 角,因此要进行角的变形.证明：∵2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,∴sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,而 5sinβ=5sin［(α+β)-α］=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.由已知得 sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,等式两边都除以 cos(α+β)cosα,得2tan(α+β)=3tanα.类题演练 3证明-2cos(α+β)=.证明:等式左边=-2cos(α+β)=,∴等式成立.变式提升 3求式子 2sin80°sin50°+sin10°cos10°(1+tan10°)的值.思路分析:将 tan10°化为 tan10°=是求值过程中最关键的一步.解:原式=2sin80°sin50°+=2sin80°sin50°+2sin10°(cos10°+sin10°)=2sin80°sin50°+2sin10°cos50°=2(cos10°sin50°+sin10°cos50°)=2sin60°=2×=.
