高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.1.2 两角和与差的正弦课堂探究探究一 给值求值在解三角函数题目时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样变换，我们主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少角的个数．其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．【例 1】 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求 sin 2α．分析：注意变角思想(已知角与未知角之间的内在联系)．解：因为<β<α<，所以 0<α－β<，π<α＋β<．又 cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以 sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－．所以 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－．探究二 利用两角和与差的正弦公式化简化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；(3)使三角函数式的次数尽可能低；(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．【例 2】 化简下列各式：(1)sin＋2sin－cos；(2)－2cos(α＋β)．分析：(1)各式中角的形式无法统一，且没有明显的拼角关系，所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法．(2)观察三个角之间的关系，知 2α＋β＝α＋(α＋β)，所以首先考虑角的代换，再利用两角和与差公式化复角为单角．解：(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋cos x＝0．(2)原式＝＝＝＝．探究三 两角和与差的公式在三角形中的应用判定三角形的形状，充分利用角的变换，借助 A＋B＋C＝π，即 A＋B＝π－C，＝－．因而有 sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin．【例 3】 在△ABC 中，已知 tan A＝，试判断△ABC 的形状．解：因为 tan A＝，所以＝．所以 sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以 cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，所以 cos(A－C)＝cos(A－B)，所以 A－C＝A－B 或 A－C＝B－A，即 B＝C 或 2A＝B＋C．所以△ABC 为等腰三角形或为 A 等于 60°的三角形．方法规律判断三角形的形状，关键是找出角 A，B，C 的关系．本题的巧妙之处在于角的和与差的公式的逆用，这也是解这类题的一条重要途径．同时，注意隐含条件 A＋B＋C＝π 的限制作用．探究四 三角函数形式的转化研究形如 f(x)＝asin x＋bcos...