第一章 解三角形本章整合知识网络专题探究专题一 判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如 a＝2R·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如 cos A＝把角的余弦化边，或利用 sin A＝把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A，B，C 的对边，① 若 a2＋b2＝c2，则∠C＝90°；② 若 a2＋b2>c2，则∠C<90°；③ 若 a2＋b290°；④ 若 sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝．【应用 1】 在△ABC 中， 若 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．解析： sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，根据正弦定理，得 a∶b∶c ＝2∶3∶4．设 a＝2m，b＝3m，c＝4m(m>0)， c>b>a，∴∠C>∠B>∠A．∴cos C ＝＝＝－<0．∴∠C 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角【应用 2】 在△ABC 中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来1判断．解：解法一：由正弦定理，得 2sin B＝sin A＋sin C． ∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°．∴∠A＝120°－∠C，代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－∠C)＋sin C，展开，整理得 sin C＋cos C＝1．∴sin(∠C＋30°)＝1．∴∠C＋30°＝90°．∴∠C＝60°．故∠A＝60°．∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B． ∠B＝60°，b＝，∴2＝a2＋c2－2accos 60°．整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c．从而 a＝b＝c．∴△ABC 为等边三角形．专题二 恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．【应用 1】 在△AB...
