第一章 解三角形1 正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若 sin A>sin B，则 A 与 B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为 A 与 B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若 A>B，则 sin A 与 sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．一、结论例 1 在△ABC 中，sin A>sin B⇔A>B.分析 题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明 因为 sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B(其中 R 为△ABC 外接圆的半径)，根据正弦定理变式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中 a，b 分别为 A，B 的对边)，可得 sin A>sin B⇔a>b，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得 a>b⇔A>B.所以 sin A>sin B⇔A>B.二、结论的应用例 2 在△ABC 中，A＝45°，a＝4，b＝2，求 B.分析 在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得 B＝30°或 B＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现．解 由正弦定理，得＝，sin B＝.又 sin B
sin B，所以 C>B，所以 C 有两解．(1)当 C＝60°时，有 A＝90°；(2)当 C＝120°时，有 A＝30°.点评 除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.2 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．一、通过角之间的关系定“形”例 1 在△ABC 中，已知 2sin Acos B＝sin C，那么△ABC 一定是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理，2sin Acos...
