3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第 3 课时）课堂探究探究一 给角求值给角求值问题中，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看十分困难，所以在解题过程中，要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．【典型例题 1】 求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2；(3) ；(4)coscos．思路分析：(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值．(4)由，是二倍角关系，从而可构造用二倍角的正弦公式求解．解：(1)原式＝sin＝×＝．(2)原式＝cos＝cos＝－cos＝－．(3)原式＝×＝tan＝×＝．(4)原式＝＝＝＝＝．探究二 给值求值1．从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．另外，注意几种诱导公式的应用，如：(1)sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；(2)cos 2x＝sin＝sin＝2sincos；(3)cos 2x＝sin＝sin＝2sincos．【典型例题 2】 (1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝__________；(2)已知 0<α<，cos＝，则 sin＝__________．思路分析：(1)直接用二倍角正切公式求值；(2)观察角＋α 与＋2α 的关系，再选择公式求解．解析：(1) tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－．(2) 0<α<，∴<α＋<． cos＝，∴sin＝．∴sin＝sin＝2sincos＝2××＝．答案：(1) － (2) 【典型例题 3】 已知 sin＝，0<α<，求 sin 2α，cos 2α 的值．解： sin＝，∴sin 2α＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝． 0<α<，∴－<－α<． sin＝，∴cos＝．∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝．探究三 给值求角解答给值求角的题目时，第一步，求角的范围；第二步，求角的一个三角函数值；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解．【典型例题 4】 已知 α，β 是锐角，且 sin α＝，sin β＝，求 α＋2β的值．思路分析：可先求 cos 2β 的值，然后再选用适当的三角函数求 α＋2β 的值，其中要注意缩小角 2β 的范围．解： sin β＝，∴cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝．由 β∈，且 cos 2β＝>0，可推得 2β∈．∴α＋2β∈(0，π)． α∈，且 ...
