高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课堂导学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

1.3.2 奇偶性课堂导学三点剖析一、函数的奇偶性概念【例 1】 判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看 f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例 2】 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+;(2)f(x)=+;(3)f(x)=;(4)f(x)=kx+b(k≠0);(5)f(x)=x+(a≠0);(6)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).解：(1)由得 x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数. (2)由得 x2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数. (3)函数定义域为{x|x≠0}且 f(-x)==-f(x).f(x)为奇函数. (4)函数定义域为 R，当 b=0 时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当 b≠0 时，为非奇非偶函数. (5)函数定义域为{x|x≠0}，且 f(-x)=-x-=-f(x).函数为奇函数. (6)函数定义域为 R，当 b=0 时，f(-x)=f(x)为偶函数；b≠0 时，为非奇非偶函数.温馨提示 1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看 f(-x)与 f(x)的关系，即 f(-x)=±f(x)或 f(-x)±f(x)=0. 也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断. 2.若定义域关于原点对称，且 f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数. 3.一次函数 y=kx+b 为奇函数b=0. 4.二次函数 y=ax2+bx+c 为偶函数b=0.【例 3】 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当 x>0 时，f(x)=x(1+),求：(1)f(-8);(2)x<0 时，f(x)的解析式.思路分析：已知条件中的解析式是 x>0,f(x)=x(1+),所求的 f(-8)、x<0 时的 f(x)最终要利用奇偶性化归为 f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的 x 都有 f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x). (1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8×(1+2)=24, ∴f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24. (2)当 x<0 时，f(x)=-f(-x). -x>0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-), ∴f(x)=-［-x(1-)］=x(1-).三、函数奇偶性的应用举例【例 4】 已知 f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断 f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容...