第 3 课时 几何法、反证法1．了解几何法的证明过程，并会用几何法证明简单的不等式．2．掌握反证法，并会用反证法证明不等式．1．几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______．【做一做 1】已知 x，y，z∈(0,1)．求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．2．反证法反证法证不等式是：先假设所要证的不等式不成立，也就是说不等式的反面成立，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出矛盾的结果，从而断定假设错误，因而确定要证的不等式成立．它的步骤是：(1)作出否定____的假设；(2)进行推理，导出____；(3)否定假设，肯定____．【做一做 2】如果 a＞b＞0，证明＜．答案：1．几何法【做一做 1】分析：构造一个边长为 1 的正三角形，利用三角形的面积关系来证明．证明：如图，构造正三角形 ABC，设其边长为 1，BD＝x，AF＝y，CE＝z，则根据面积关系 S△ABC＞S△BDF＋S△DCE＋S△AEF，得 1·1·sin 60°＞x(1－y)sin 60°＋y(1－z)sin 60°＋z(1－x)sin 60°．整理，得 x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．即得证．2．(1)结论 (2)矛盾 (3)结论【做一做 2】分析：先假设≥成立，从假设出发，推出矛盾．证明：假设≥，则－＝≥0． a＞b＞0，∴a2b2＞0，b2－a2＝(b＋a)(b－a)≥0． a＞b＞0，∴b＋a＞0，∴b－a≥0，即 b≥a．这与已知 a＞b 矛盾．∴假设不成立，即＜成立．1．反证法中的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题”，“唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设．常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个以上是不全不都是对数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．2．用反证法证明不等式剖析：(1)用反证法证明，就是从结论的反面出发，要求结论反面的情况只有有限多种 ，然后证明这种反面的结论都是不可能的，是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的．(2)要证不等式 M＞N，先假设 M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定 M＞N 成立．凡涉及的证明不等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑使用反证法．(3)用反证...
