第 3 课时 几何法、反证法1．了解几何法的证明过程，并会用几何法证明简单的不等式．2．掌握反证法，并会用反证法证明不等式．1．几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______．【做一做 1】已知 x，y，z∈(0,1)．求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．2．反证法反证法证不等式是：先假设所要证的不等式不成立，也就是说不等式的反面成立，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出矛盾的结果，从而断定假设错误，因而确定要证的不等式成立．它的步骤是：(1)作出否定____的假设；(2)进行推理，导出____；(3)否定假设，肯定____．【做一做 2】如果 a＞b＞0，证明＜．答案：1．几何法【做一做 1】分析：构造一个边长为 1 的正三角形，利用三角形的面积关系来证明．证明：如图，构造正三角形 ABC，设其边长为 1，BD＝x，AF＝y，CE＝z，则根据面积关系 S△ABC＞S△BDF＋S△DCE＋S△AEF，得 1·1·sin 60°＞x(1－y)sin 60°＋y(1－z)sin 60°＋z(1－x)sin 60°．整理，得 x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．即得证．2．(1)结论 (2)矛盾 (3)结论【做一做 2】分析：先假设≥成立，从假设出发，推出矛盾．证明：假设≥，则－＝≥0． a＞b＞0，∴a2b2＞0，b2－a2＝(b＋a)(b－a)≥0． a＞b＞0，∴b＋a＞0，∴b－a≥0，即 b≥a．这与已知 a＞b 矛盾．∴假设不成立，即＜成立．1．反证法中的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题”，“唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设．常见词语至少有一个至多有一个
