3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考 1 如何用角 α，β 的正弦、余弦值来表示 cos(α－β)呢？有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案 不正确.例如：当 α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，而 cos α－cos β＝cos －cos ＝－，故 cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当 α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，而 cos α－cos β＝cos －cos ＝，故 cos(α－β)≠cos α－cos β.思考 2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________.猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________.答案 ① 1 ② ③ 0 ④cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知识点二 两角差的余弦公式思考 1 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么 A，B 的坐标是什么？OA与OB的夹角是多少？答案 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β). OA与OB的夹角是 α－β.思考 2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案 ①OA·OB＝|OA||OB|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA·OB＝cos αcos β＋sin αsin β.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例 1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把...
