3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦 [学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当 α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos α＋cos β 成立．那么当 α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β 恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如 α＝，β＝时．2．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1 ＝ cos _0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝＝cos 30°；③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0 ＝ cos( － 90°) ；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝＝cos(－60°)．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos( α － β ) ；即：cos( α － β ) ＝ cos _α cos _β ＋ sin _α sin _β.[预习导引]1．两角差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝cos_α cos _β ＋ sin _α sin _β，其中 α、β 为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β 替代 β 就得到两角和的余弦公式．即 Cα＋β：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_α cos( － β ) ＋ sin _α ·sin( － β ) ＝cos_α cos _β－ sin _α sin _β.要点一 运用公式求值例 1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练 1 计算：(1)sin 75°；(2)sin xsin(x＋y)＋cos xcos(x＋y)．解 (1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y.要点二 给值求值例 2 设 cos (α－)＝－，sin ＝，其中 α∈，β∈，求 cos .解 α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝ ＝ ＝.co...
