第一章 集合与函数本章总结集合的关系主要有包含与真包含关系，它们与函数问题、解不等式都密切相关，特别是在已知 A⊆B 的情况下，不要忘记 A＝∅的情况．集合的关系与集合的运算关系密切，如，A∩B＝A，则 A⊆B；A∪B＝A，则 B⊆A.集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或 Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解．[例 1] 已知 A＝{x|x2－7x＋12＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且 A∪B＝A，求实数 a 组成的集合 C.[解] 由 x2－7x＋12＝0，得 x＝3 或 x＝4，∴A＝{3,4}． A∪B＝A，∴B⊆A.当 B＝∅时，a＝0，此时方程 ax－2＝0 无解．∴当 a＝0 时，满足 B⊆A.当 B≠∅时，B＝{x|ax－2＝0}＝⊆{3,4}＝A.∴＝3 或＝4，∴a＝或 a＝.综上，实数 a＝0 或 a＝或 a＝，∴集合 C＝.[点评] 在解决集合问题时，首先需要考虑已知条件的转化，如本题中“A∪B＝A”需要转化为“B⊆A”，而在考虑 B⊆A 的情况中，B＝∅时常会被忽略，所以在本题的求解过程中渗透了转化与化归的思想和分类讨论的思想．函数的概念主要是对函数三要素：定义域、值域、对应关系的考查，其中定义域是研究任何函数问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．[例 2] 已知 a，b 为常数，且 a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程 f(x)＝x 有两个相等的实数根．(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x∈[1,2]时，求 f(x)的值域．[分析] (1)用待定系数法求解；(2)借助于二次函数的图象，利用函数的单调性求解．[解] (1)由 f(2)＝4a＋2b＝0，得 2a＋b＝0，①f(x)＝x，即 ax2＋bx＝x，即 ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．∴b－1＝0，∴b＝1.将其代入①得 a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.(2)由(1)知 f(x)＝－(x－1)2＋，显然 f(x)在[1,2]上是减函数．∴当 x＝1 时，f(x)max＝，当 x＝2 时，f(x)min＝0，故当 x∈[1,2]时，函数的值域是.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂...
