第二课时 两角和与差的正切公式[提出问题]问题 1：前面学习的同角三角函数关系中，tan α，sin α，cos α 的关系怎样？提示：tan α＝.问题 2：利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把 tan(α＋β)用 tan α，tan β表示吗？提示：能．tan(α＋β)＝＝＝.问题 3：能用 tan α，tan β 表示 tan(α－β)吗？提示：能．问题 4：公式中，α，β 是任意实数吗？提示：不是，α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z.[导入新知]两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)[化解疑难]1．公式 tan(α＋β)＝的推导当 cos(α＋β)≠0 时，将公式 S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有 tan(α＋β)＝＝，若 cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以 cos αcos β，得 tan(α＋β)＝.2．公式 tan(α－β)＝的推导由于 tan(－β)＝＝＝－tan β，在 T(α＋β)中以－β 代替 β，可得 tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝，即 tan(α－β)＝.化简求值问题[例 1] (1)若 α＋β＝，tan α＋(tan αtan β＋c)＝0(c 为常数)，则 tan β＝________.(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．[答案] (1)(c＋1) (2)[类题通法]利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1．计算的值．答案：－2．求 tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值．答案：条件求值问题[例 2] 已知 sin＝，cos＝－，且 α－和－β 分别为第二、第三象限角，求 tan 的值．[解] 由题意，得 cos＝－，sin＝－，∴tan＝－，tan＝，∴tan ＝tan ＝＝＝－.[类题通法]给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关...
