3.2.1 倍角公式课堂导学三点剖析一、运用倍角公式求值 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.【例 1】 已知 cosα=-,α∈(π,),求 sin2α,cos2α 和 tan2α 的值.思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.解： cosα=-,α∈(π,),∴sinα=.∴sin2α=2sinα·cosα=2×()×(-)=,cos2α=1-2sin2α=1-2×()2=,tanα=.温馨提示 在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.各个击破类题演练 1已知 sinα=,求 sin2α,cos2α,tan2α 的值.思路分析: sinα=>0 且 α∈R,∴α 为第一、二象限角,解题时应分象限讨论.解: α∈R 且 sinα=>0,∴α 为第一象限或第二象限角.① 当 α 为第一象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.② 当 α 为第二象限角时,sin2α=,cos2α=,tan2α=.变式提升 1求的值.思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.解:原式==4.二、给值求角问题 给值求角问题,其方法步骤是:(1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-,),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好.【例 2】 已知 α,β 是锐角,且 sinα=,sinβ=,求 α+2β 的值.思路分析:因为 β∈(0,),所以 2β∈(0,π).所以先求 cos2β 的值,然后再选用适当的三角函数求 α+2β 的值.解： sinβ=,∴cos2β=1-2sin2β=.由 β∈(0,)且 cos2β=>0,可推得 2β∈(0,),∴α+2β∈(0,π).∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β. α∈(0,)且 sinα=,得 cosα=,又 2β∈(0,)且 cos2β=,∴sin2β=.∴cos(α+2β)=.∴α+2β=.类题演练 2已知 tan(α-β)=,tanβ=,α,β∈(0,π),求 2α-β 的值.解： tanα=tan［(α-β)+β］=,∴tan2α=. tanα=>0 且 α∈(0,π),可推得 α∈(0,).又 tan2α=>0,可推得 2α∈(0,),同理,得 β∈(,π).∴2α-β∈(-π,0).又 tan(2α-β)==1,∴2α-β=π...
