高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.2.1 倍角公式课堂探究探究一 化简、求值问题解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，常变形后正用或逆用公式来解决．【例 1】 求下列各式的值：(1) －sin215°；(2)coscos；(3)已知 tan α＝，tan β＝，且 α，β 均为锐角，求 α＋2β 的值；(4)sin 50°(1＋tan 10°)．解：(1)－sin215°＝ (1－2sin215°)＝cos 30°＝．(2)原式＝＝＝＝＝．(3)由 tan β＝，得 tan 2β＝>0，所以 2β∈．又 tan α＝，所以 tan(α＋2β)＝＝1．因为 α∈，2β∈，所以 α＋2β∈(0，π)，所以 α＋2β＝．(4)原式＝sin50°＝sin 50°·＝sin 50°·＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝1．探究二 给值求值问题由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值或求相关角时，关键在于“变角”，把“目标角”变换成“已知角”．【例 2】 (1)已知 cos＝，≤α<，求 cos的值；(2)已知 α∈，且 sin 2α＝sin，求 α．解：(1)因为≤α<，所以≤α＋<．因为 cos>0，所以<α＋<．所以 sin＝－＝－＝－．所以 cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝．所以 cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－．(2)因为 sin 2α＝－cos＝－，sin＝－sin＝－cos＝－cos，所以原方程可化为 1－2cos2＝－cos，解得 cos＝1 或 cos＝－．因为 α∈，所以 α＋∈．所以 α＋＝0 或 α＋＝．所以 α＝－或 α＝．探究三 与三角函数有关的综合问题解决这类问题经常是先利用二倍角公式、辅助角公式及三角函数的性质等将函数表达式化成形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用三角函数的性质和图象解决．【例 3】 求函数 f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x的最小值，并求其单调减区间．解：f(x)＝5·＋·－2sin 2x＝3＋2cos 2x－2sin 2x＝3＋＝3＋＝3＋4sin＝3－4sin．因为≤x≤，所以≤2x－≤．所以 sin∈．所以当 2x－＝，即 x＝时，f(x)取最小值为 3－2．因为 y＝sin在上单调递增，所以 f(x)在上单调递减．探究四 易错辨析易错点：忽视角所在象限【例 4】 化简：2＋．错解：原式＝＋＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4＝2sin 4＋4cos 4．错因分析：没有判断 4 弧度的角终边所在的象限或根号下正负号判断错误．正解：因为 4∈，所以 sin 4<0，cos 4<0．所以原式＝＋＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2(sin 4＋2cos 4)．