高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理课堂导学案 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学学案

1.3.1 二项式定理课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例 1】已知（441xx ）n展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项.解析：依题意，前三项系数的绝对值是 1，1nC · 21 ,2nC ·（ 21 ）2,且12nC · 21 =1+ 412nC ,所以n2-9n+8=0,所以 n=8（n=1 舍）.∴Tr+1=rC8 （x ）8-r（421x）r=（-1）r431682rrrxC.（1）若 Tr+1为常数项，当且仅当4316r=0 时，即 3r=16.因为 r∈N，这不可能，所以展开式中没有常数项.（2）若 Tr+1为有理项，当且仅当4316r=443r为整数.因为 0≤r≤8,r∈N，所以 r 为 4 的倍数，所以 r=0、4、8.则有理项为 T1=x4,T5= 835 x,T9= 281 x-2.温馨提示 对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练，是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例 2】已知（ 32x+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，求展开式中系数最大的项.解：令 x=1 得各项系数的和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数的和为0nC +1nC +…+nnC =2n.由已知 4n=2n+992,∴2n=32（2n=-31 舍），∴n=5,设第 r+1 项系数最大，则,33,3311551155rrrrrrrrCCCC即.1351,613rrrr∴ 414 ≤r≤ 418 .又 r∈N,1∴r=4.∴系数最大的项是第 5 项.T5=45C （ 32x ）·（3x2）4=326405x.温馨提示 （1）赋值法是解决二项展开式有关系数（或二项式系数）“和”问题的一般方法. （2）要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例 3】（1）9192除以 100 的余数是几？（2）求证：32n+2-8n-9（n∈N*）能被 64 整除.（1）解析： 9192=（90+1）92=092C·9092+192C·9091+…+ 9092C·902+9192C·90+1,由于前面各项均能被 100 整除，只有末尾两端不能被 100 整除，由于9192C·90+1=8 281=8 200+81.∴被 100 除余 81.（2）证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9=（8n+1+11nC8n+21nC8n-1+…+21nC·8+1）-8n-9=8n+1+11nC·8n+21nC·8n-1+…+11nnC·82,而上式各项均为 64 的倍数，∴32n+2-8n-9（n∈N*）能被 64 整除.温馨提示 用二项式定理证明整除问题时，首先须注意（a±b）n中，a、b 中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出余项，同理可处理系数的问题.各个击破类题演练...