1 二项式定理课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例 1】已知（441xx ）n展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项
解析：依题意，前三项系数的绝对值是 1，1nC · 21 ,2nC ·（ 21 ）2,且12nC · 21 =1+ 412nC ,所以n2-9n+8=0,所以 n=8（n=1 舍）
∴Tr+1=rC8 （x ）8-r（421x）r=（-1）r431682rrrxC
（1）若 Tr+1为常数项，当且仅当4316r=0 时，即 3r=16
因为 r∈N，这不可能，所以展开式中没有常数项
（2）若 Tr+1为有理项，当且仅当4316r=443r为整数
因为 0≤r≤8,r∈N，所以 r 为 4 的倍数，所以 r=0、4、8
则有理项为 T1=x4,T5= 835 x,T9= 281 x-2
温馨提示 对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练，是解决类似问题的关键
二、利用二项式定理求系数的和【例 2】已知（ 32x+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，求展开式中系数最大的项
解：令 x=1 得各项系数的和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数的和为0nC +1nC +…+nnC =2n
由已知 4n=2n+992,∴2n=32（2n=-31 舍），∴n=5,设第 r+1 项系数最大，则,33,3311551155rrrrrrrrCCCC即
1351,613rrrr∴ 414 ≤r≤ 418
又 r∈N,1∴r=4
∴系数最大的项是第 5 项
T5=45C （ 32x ）·（3x2）4=326405x
温馨提示 （1）赋值法是解决二项展开式有关系数（或二项式系数）“和”问题的一般方法
（2）要注意系数
