高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.2.2 半角的正弦余弦和正切课堂探究探究一 利用半角公式化简求值问题对于化简求值问题要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧．【例 1】 (1)求值：(tan 5°－cot 5°)·；(2)已知 sin－cos＝－，<α<π，求 tan的值．解：(1)原式＝·＝·＝－2··＝－2cot 10°·tan 10°＝－2．(2)因为＝，所以 1－sin α＝，所以 sin α＝．又因为<α<π，所以 cos α＝－．所以 tan＝＝＝2．探究二 给值求值问题【例 2】 已知 tan 2θ＝－2，θ∈，求的值．分析：先化简，再求值．解：原式＝．因为 θ∈，所以 2θ∈．所以 cos 2θ＝－＝－＝－．所以 sin θ＝＝＝，cos θ＝＝＝，所以原式＝＝4(1－)．评 注 sinsin＝－＝cos2θ －sin2θ＝cos2θ－＝－＝cos 2θ＋．探究三 与向量、三角函数有关的综合问题【例 3】 已知 a＝，b＝，设 f(x)＝a·b．(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 x∈，求 f(x)的值域．解：(1)f(x)＝a·b＝＋·2cos＝cos2－sin2－sin x＝cos x－sin x＝＝cos．所以 f(x)的最小正周期为 2π．(2)因为 x∈，所以 x＋∈．当 x＋＝时，fmax(x)＝；当 x＋＝π 时，fmin(x)＝－．故 f(x)的值域为．探究四 易错辨析易错点：没有分类讨论而漏解【例 4】 在等腰三角形中，已知顶角 θ 的正弦值为，试求该三角形底角的正弦值、余弦值和正切值．错解：因为 sin θ＝，所以 cos θ＝．设等腰三角形的底角为 α，则 2α＋θ＝π，即 α＝－，所以 sin α＝sin＝cos＝±＝±，cos α＝cos＝sin＝±＝±，所以 tan α＝＝±3．错因分析：错误一是由 sin θ＝求 cos θ 没有分类讨论；错误二是由 cos θ 求 α的正弦值、余弦值和正切值时没有检验符号．正解：设等腰三角形的底角为 α，则 2α＋θ＝π，即 α＝－．由 sin θ＝，得 cos θ＝±．① 当 cos θ＝时，sin α＝cos＝＝，cos α＝sin＝＝．所以 tan α＝＝3．② 当 cos θ＝－时，sin α＝cos＝＝，cos α＝sin＝＝，所以 tan α＝＝．