高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切基础知识基本能力1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦公式、余弦公式和正切公式的过程．(重点)2．掌握半角的正弦公式、余弦公式和正切公式．(重点、难点)1．理解倍角公式和半角公式的内在联系和结构特点．(重点、易混点)2．能用半角公式进行简单的三角恒等变换．(难点)3．能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题．(重点、易错点)半角公式半角公式的推导过程如下表：如何确定公式中的正负号？答：根据“”的范围来确定，如果不能确定角“”的范围，“±”应保留．【自主测试 1】若 cos α＝，则 sin 等于( )A． B．－ C．± D．±解析：sin＝±＝±.答案：C【自主测试 2】已知 cos θ＝，且 270°＜θ＜360°，则 cos 的值为( )A． B．－ C．± D．－解析： 270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°，∴cos＝－＝－＝－.答案：B【自主测试 3】若 cos α＝－，α 是第三象限的角，则＝( )A．－ B． C．2 D．－2解析：解法一：由 cos α＝－，且 α 是第三象限的角，得 sin α＝－，又 tan＝＝＝－3，∴＝＝－.解法二： cos α＝－，α 为第三象限的角，∴sin α＝－.∴tan α＝.由 tan α＝＝，得 tan＝或 tan＝－3.又 π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．当 k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，此时在第二象限，tan＜0；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，此时在第四象限，tan＜0.∴tan＝－3.∴＝＝－.答案：A解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；② tan＝±和 tan＝中要求 α≠2kπ＋π，k∈Z，而 tan＝中则要求 α≠kπ，k∈Z.(3)因为 tan＝及 tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把 sin α，cos α，tan α 统一用 tan 表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sincos＝＝，cos α＝cos2－sin2＝＝，tan α＝＝.题型一 利用半角公式求值【例题 1】求值：(tan 5°－cot 5°)·.分析：可以先将余切化正切，再用倍角公式；也可利用切化弦的思想；...